අපරිමිත ශ්‍රේණි

අපරිමිත ශ්‍රේණියක a₀ + a₁ + a₂ + … ආකාරයට පදයන්ගේ ඓක්‍යය ,සීමාව පවතී නම්

$S_N=\sum _{n=0}^N{a}_n=a_0+a_1+a_2+\cdots +a_N.$

යන අනුක්‍රමයේ n → ∞ වන විට සීමාව වේ.

යම් හෙයකින් ශ්‍රේණියක් සඳහා තාත්වික සීමාවක් පවතී නම් එය අභිසාරී යැයි සැලකෙන අතර තාත්වික සීමාවක් නොපවතී නම් හෝ සීමාව අපරිමිත නම් එවන් ශ්‍රේණියක් අපසාරී යැයි සලකනු ලැබේ. අපරිමිත ශ්‍රේණියක් අභිසාරී වීමේ පහසුම මඟ එහි n හි ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල අගයයන් සඳහා සියළු an අගයයන් ශුන්‍ය වීමයි. එවන් ශ්‍රේණියක් පරිමිත ඓක්‍යයක් පැවතීමෙන් හඳුනාගත හැකි වන අතර එය අපරිමිත වන්නේ නිසරු වශයෙන් යැයි සැ‍ලකේ. කෙසේ නමුත් ශුන්‍ය නොවූ පදයන්ගෙන් යුත් ශ්‍රේණියක් වුව අභිසාරී විය හැකි අතර මෙය සීනෝගේ විරුද්ධාභාසයන් කිහිපයක ගණිතමය පැතිකඩ සඳහා වන විසඳුම් සපයයි. බොහෝ විට නිසරු නොවූ අපරිමිත ශ්‍රේණියක් සඳහා සරලම උදාහරණය

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$

ඒකක 2 ක දිගින් යුත් තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාවක් ඇසුරින් මෙහි අභිසාරීතාව පිළිබඳ අදහසක් ගොඩනඟා ගත හැක. එවන් ‍රේඛාවක් මත අනුයාතව ඉහත අගයයන් පිළිවෙලින් 1, ½, ¼ ..... ආදී ලෙස සලකුණු කරගෙන යන්නේ යැයි සිතමු. එවිට ඕනෑම සලකුණු කිරීමකින් අනතුරුව ඊළඟ සලකුණු කිරීම සඳහා ප්‍රමාණවත් ඉඩක් සංඛ්‍යා රේඛ‍ාවේ පවතී. ඊට හේතුව අප අවසානයට සලකුණු කළ කොටසේ දිගට සමාන දිගක් සංඛ්‍යා රේඛාව මත තවදුරටත් ඉතිරිව පැවතීමයි. උදාහරණයක් ලෙස අප 1 සලකුණු කළ විට තවත් ඒකක එකක කොටසක් ද, අප ½ සලකුණු කළ විට තවත් ½ ක කොටසක් ද සංඛ්‍යා රේඛාව මත ඉතිරිව පවතිනු ඇත. නමුත් මෙම තර්කය මඟින් ඉහත ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය 2 බව ඔප්පු නොවේ (ඉහත ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය 2කි) නමුත් එම තර්කය මඟින් ඉහත ශ්‍රේණිය සඳහා ලද හැකි උපරිම අගය 2ක් බව - එනම් ශ්‍රේණිය සඳහා උඩින් පර්යන්තයක් පවතින බව ඔප්පු වේ. මෙම ශ්‍රේණි‍ය ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක් වන අතර සාමාන්‍යයෙන් ගණිතඥයින් මෙය

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n}=2$ ලෙස ලියනු ලබයි.

අපරිමිත ශ්‍රේණියක් විධිමත්ව ලියනු ලබන්නේ ,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

ආකාරයට වන අතර මෙහි අවයව a_n අගයන් තාත්වික (හෝ සංකීර්ණ) සංඛ්‍යා වේ. මෙම ශ්‍රේණිය සඳහා සීමාවක් පවතී නම් ද එය S ට සමාන වේ නම් ද මෙම ශ්‍රේණි‍ය S ට අභිසාරී වේ යැයි හෝ එහි ඓක්‍යය S වේ යැයි කියනු ලැබේ. මෙයට අදාල අංකනය පහත වේ.

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=0}^N{a}_n$

නමුත් ශ්‍රේණිය සඳහා සීමාවක් නොමැති නම් එය අපසාරී වේ යැයි කියනු ලැබේ.

විධිමත් අර්ථ දැක්වීම

සාමාන්‍යයෙන් ශ්‍රේණියක් එහි පදයන්ගේ අනුක්‍රමය a₀, a₁, a₂, ... සහ එහි පදයන්ගේ ආංශික ඓක්‍යයේ අනුක්‍රමය, S₀, S₁, S₂, ... යන යුගලයක් ලෙස ගණිතඥයන් ශ්‍රේණියක් අධ්‍යයනය කරනු ලබන අතර මෙහි $S_N=\sum _{n=0}^N{a}_n$ වෙයි.

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

මඟින් හොඳින් අර්ථ දක්වා ඇති අනුක්‍රමණයක් නිරූපණය වන අතර එය අතර එය අභිසාරී වීම හෝ නොවීම සිදු විය හැක. යම් හෙයකින් ශ්‍රේණිය අභිසාරී නම් (එනම් එහි ආංශික ඓක්‍යයන්ගේ අනුක්‍රමණය S_N ට සීමාවක් පවතින විට) අනුක්‍රමයේ සීමාව දැක්වීම සඳහා ද ඉහත නාමකරණයට යොදාගත හැක. මෙවැනි තත්වයක් යටතේ දී එකිනෙකට සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් වු අනුක්‍රමය සහ සංඛ්‍යාත්මක අගය යන තොරතුරු ප්‍රභින්න කොට දැක්වීම සඳහා ඓක්‍යය දක්වන සංකේතය :$\sum$ඉහලින් හා පහලින් ලියන සීමා සංකේත අත්හැර ලිවීම කළ හැක. නමුත් සාමාන්‍යයෙන් සීමා සංකේත ඉවත් නොකළත් මෙවන් අංක‍නයක අර්ථය පැහැදිලි කර ගැනීම අපහසු නැත. නිරපේක්ෂ අභිසාරීතාව සහ සමාකල්‍ය බව ආදී ලෙස අනුක්‍රමණයක් අභිසරණය විය හැකි විවිධ ක්‍රම පවතී. තවද යම් අනුක්‍රමයක පද සරල සංඛ්‍යා වෙනුවට ශ්‍රිතයක් ආදී වෙනත් ආකාර‍යක් ගත් විට ලාක්ෂීය අභිසරණය සහ ඒකාකාරී අභිසාරීතාව ආදී වු තවත් අභිසාරීවන ක්‍රම පවතී. උදාහරණයක් වශයෙන් ගණිතඥයින් ශ්‍රේණිවල මේ හා සමාන මතයන් සඳහා ද ඉහත ක්‍රමවේද දීර්ඝ කර ඇත. උදාහරණයක් ලෙස අප සමාවර්ත දශම ගැන සලකන විට සත්‍ය වශයෙන්ම අප සලකා බලනුයේ එය අනුරූප වන ශ්‍රේණිය පිළිබඳවයි. (උදාඃ 0.1 + 0.01 + 0.001 + …) නමුත් තාත්වික සංඛ්‍යාවල පූර්ණතා ගුණය හේතුවෙන් මෙවන් ශ්‍රේණීන් හැමවිටම තාත්වික සංඛ්‍යාවන්ට අභිසරණය වන අතර ශ්‍රේණිය ගැන සැලකීම එය නිරූපණය කරන සංඛ්‍යාව ගැන සලකා බැලීමටම සම වේ. විශේෂයෙන්ම 0.111… සහ 1/9 වෙන් වෙන්ව නොසැලකීම අවබෝධයට එරෙහි නොවන අතර 9 × 0.111… = 0.999… = 1 යන තර්කය සාපේකෂව අපැහැදිලි වේ. නමුත් සීමා නියමයන් අංක ගණිතමය කර්මයන් වන බව දැන මෙහි සාධනය විධිමත් කළ හැක. ඒ අනුව ගණනය අස්ථිර නොවේ. (වැඩිපුර විස්තර සඳහා 0.999... බලන්න)