යුක්ලිඩියානු දෛශිකය සඳහා මුලාශ්‍රය නරඹන්න

{{පරිවර්තනය නොනිමි|Euclidean vector|ඉංග්‍රීසි|en}}
මෙම ලිපිය අවකාශය ඛණ්ඩාංක සමඟ විශේෂ සම්බන්ධතාවක් සහිත දෛශික සම්බන්ධයෙනි. 

[[ගොනුව:Vector_AB_from_A_to_B.svg|thumb|right|A සිට B දක්වා දිවෙන් දෛශිකය.]]
== අවකාශීය දෛශිකය ==

දෛශිකයක් යනු විශාලත්වයක් හා දිශාවක් සහිත ‍ජ්‍යාමිතික වස්තුවකි.  දෛශිකයක් සෑම විටම දක්වනු ලබන්නේ  (Parallelogram law) A නම් ලක්ෂයකින් ආරම්භ වී B නම් ලක්ෂයකින් අවසාන වන රේඛා ඛණ්ඩයක් ලෙසටය.

විශාලත්වය රේඛා ඛණ්ඩයේ දිග මගින්ද, එහි දිශාව A ට සාපේක්ෂව B හි විස්ථාපනය මඟින්ද නිරූපණය වේ.  

තාත්වික සංඛ්‍යා සඳහා වන බොහෝ වීජීය කර්මකයන් දෛශික සඳහා සමීප අනුකූලතාවයක් දක්වයි.  එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, සංඛ්‍යාවක් සමඟ ගුණ කිරීම සහ දිශාව ප්‍රතිවිරුද්ධ වූ විට අනෙක් පසෙට හැරීමද සිදුවේ.  මෙම කර්මකයන් සුපුරුදු වීජීය නියමයන් වන සංඝඨන න්‍යාය විසස්තර න්‍යාය හා න්‍යාදේශ න්‍යායටද අනුකූලතාව දක්වයි.  එකම ආරම්භක ලක්ෂයක් ඇති දෛශික දෙකක එකතුව ජ්‍යාමිතික ක්‍රමයක් වන සමාන්තරාඝ්‍ර නියමයේ (Parallelogram law) යන සංඛ්‍යාවක් මඟින් ගුණ කිරීම, මේ සම්බන්ධව පොදුවේ ව්‍යාපාරකරණ අදීශ, දෛශිකයක විශාලත්වය වෙනස්වීමට අවශ්‍ය ප්‍රමාණය හෙවත් එහි දිශාව නොවෙනස්ව ඇදීම හෝ හැකිලීම දක්වයි.  -1 මඟින් ගුණ කලවිට දෛශිකයේ විශාලත්වය වෙනස් නොවී දිශාව ප්‍රතිවිරුද්ධ වේ.  කාටීසියානු කණ්ඩාංක දෛශික හා ඒවා මත කර්මකයන් සමස්ථයක් ලෙස විස්තර කර දක්වයි.  දෛශිකයක් එහි සංගුණක මඟින් ත්‍රිත්ව තාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට පත්වේ.  

දෛශිකයක් සමඟ අදිශයක් එකතු කිරීමේදී ‍හා ගුණ කිරීමේදී එහි සංගුණකයෙන් සංගුණකයකට එය සිදු කිරීම කළ යුතුය.  දෛශික [[භෞතික විද්‍ය‍ාව|භෞතික විද්‍ය‍ාවේ]] වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි.  ‍චලනය වන වස්තුවක ප්‍රවේගය හා ත්වරණය හා වස්තුවක් මත බලය ක්‍රියාකරන ආකාරය දෛශික මඟින් විස්තර කල හැකිය.  බොහෝ භෞතික රාශීන් දෛශික ආකාරයට සැළකිල්ලට ගත හැකිය.  කෙසේවෙතත් එක් දෙයක් සිහියේ තබාගත යුතුය.  එනම් භෞතීය දෛශිකයක සංගුණක රඳාපවතින්නේ එය විස්තර කිරීමට භාජනය කරන ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය මත බවයි.

==නිරූපණය==
සාමාන්‍යයෙන් දෛශිකයක් දක්වනු ලබන්නේ “a” තද පැහැ සිම්පල් ඉංග්‍රීසි අකුරුවලිනි. වෙනත් සම්මුතිවලදී විශේෂයෙන් අත්අකුරින් ලියන විට, <math>\vec{a}</math>   හෝ <u>''a''</u>, ලෙස දක්වයි. විකල්ප ලෙස සමහරුන් සංකේත අකුර ටිල්ඩ් (~ ) එකක් හෙවත් යටින් රැළිති රේඛාවක්  භාවිතා කරයි.එය සිම්පල් ඉංග්‍රීසි අකුරුවලින් දැක්වීම වෙනුවට යොදන සම්මුතියකි.

පහත දක්වා ඇති පරිදි, සාමාන්‍යයෙන් දෛශිකයක් ප්‍රස්ථාරයක හෝ වෙනත් සටහනක ඊ තලයක් මගින් දක්වනු ලැබේ.

[[ගොනුව:Vector_from_A_to_B.svg|200px|right|]]

මෙහි A ලක්ෂය ආරම්භක ලක්ෂ්‍යය  කෙළවර හෝ පාදය ලෙසද: B ලක්ෂය හිස, අග හෝ අන්ත ලක්ෂය ලෙසද හැඳින්වේ. ඊතලයේ දිග මගින් දෛශිකයේ විශාලත්වය නිරූපණය කරන අතර ඊ හිසෙහි දිශාව මගින් දෛශිකයේ දිශාව නිරූපණය කරයි.

ඉහත සටහනේ ඊතලය <math>\overrightarrow{AB}</math> හෝ <u>''AB''</u> ලෙසද ලිවිය හැක.

[[ගොනුව:Notation for vectors in or out of a plane.svg|right|200px]]
ද්විමාන සටහනක තලයට අභිලම්භ දෛශිකය පැවතිය හැකි අතර සාමාන්‍යයෙන් එම දෛශිකය කුඩා වෘත්තයකින් මගින් නිරූපණය කරයි. එහිදි සටහනේ මුහුණතින් ඉදිරියට යොමුවන දෛශික, කේන්ද්‍රයේ කුඩා තිතක් සහිත කුඩා වෘතයක් [U+2299 =⊙] මගින් ද සටහනේ මුහුණත තුලින් පිටුපසට යොමු වන දෛශික , කේන්ද්‍රයේ කුඩා කතිරයක් සහිත කුඩා වෘත්තයක් (Unicode U+2297 ⊗) මගින් ද නිරූපණය  කරයි. එය ඉදිරිපසින් ඊ තලයේ හිස පෙනෙන අයුරු හා පිටුපසින් ඊ තලයේ අවරෝධය පෙනෙ‍න ආකාරය ලෙස ද  සිතිය හැක.

[[ගොනුව:Position vector.svg|thumb|right|ආන්ත ලක්ෂ (2,3) සහිත කටීසිය තලයේ වූ දෛශිකයකි. එහි අන්ත ලක්ෂ මගින්ම එම දෛශිකය හඳුනාගත හැක.]]
දෛශික මගින් ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමේදී ප්‍රස්ථාරික නිරූපණයක් භාවිතය දුෂ්කර සහිත වේ. මාත n සංඛ්‍යාවක් සහිත යුක්ලීඩ් අවකාශයක වූ දෛශික කාටිසීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් මගින් නිරූපණය කළ හැක. දෛශිකයක අන්ත ලක්ෂය තාත්වික සංඛ්‍යා n  ප්‍රමාණයක් අඩංගු ලස්තුවක් මගින් හඳුනාගත හැකි අතර  සමහරවිට මේවා පේළි දෛශික හෝ තීර දෛශික ලෙස ද හැඳින්වේ. උදාහරණයක් ලෙස ද්විමාන තලයේ (රූපය  බලන්න) මූල ලක්ෂ්‍ය 0 = ( 0 . 0 ) සිට    A = (2 , 3) ලක්ෂ්‍යය දක්වා වූ දෛශිකයක් සරලව ,

:<math>\overrightarrow{OA} = (2,3).</math> ලෙස ලියනු ලබයි

[[ගොනුව:3D Vector.svg|300px|right|]]
ත්‍රිමාන යුක්ලීඩ් අවකාශයේදී (R3) දෛශික, අන්ත ලක්ෂයේ කාටිසීය ඛණ්ඩාංක (a , b , c)  වල‍ට අනුරූප වූ සංඛ්‍යා ත්‍රිත්වය මගින් හැඳින්විය හැක. මෙම සංඛ්‍යා, විශේෂයෙන් න්‍යාස සමග වැඩකිරීමේදී තීර දෛශික හෝ පේළි දෛශික ලෙස සකස්කරනු ලැබේ.

:<math>\mathbf{a} = \begin{bmatrix}
 a\\
 b\\
 c\\
\end{bmatrix}
</math>

:<math> \mathbf{a} = \begin{pmatrix}
 a& b& c \\
\end{pmatrix}
</math>

ත්‍රිමාන දෛශිකයක් ප්‍රකාශ කිරීමේ තවත් ක්‍රමයක් වන්නේ මූලික ඛණ්ඩාංක දෛශික තුනක්  හඳුන්වා දීමයි. සමහර විට මේවා ඒකක දෛශික ලෙසද හඳුන්වයි.

:<math>{\mathbf e}_1 = (1,0,0), {\mathbf e}_2 = (0,1,0), {\mathbf e}_3 = (0,0,1).</math>

මේවාට පිළිවෙළින් x,y හා z අක්ෂ ඔස්සේ දිශානුගතව ඇති ඒකක දිගකින් යුත් දෛශික ලෙස සිතිය හැක. මේ ආකාරයට R3 හි ඇති දෛශිකයක් ප්‍රකාශ කළ හැකි ආකාරය නම්;

:<math>(a,b,c) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = a{\mathbf e}_1 + b{\mathbf e}_2 + c{\mathbf e}_3.</math>

සටහන:  භෞතික විද්‍යාපන්තිවලදී මෙම විශේෂ දෛශික තුන i, j, k ලෙස දක්වනු ලබයි. (හෝ කටිසියානු ඛණ්ඩාංකවලදී තලයේ <math>\boldsymbol{\hat{x}}, \boldsymbol{\hat{y}}, \boldsymbol{\hat{z}}</math> ලෙස) නමුත් එය උසස් ගණිතයේ දී, උසස් භෞතික විද්‍යාවේදී හා ඉංජිනේරු විද්‍යාවේදී පොදුවේ භාවිතා කරන ‘දර්ශක අංකනය’ හා ‘සමාකලන සම්මුතිය’ සමග ගැටේ. මෙම ලිපිය e1 , e2 , e3  ලෙස භාවිතා කිරීම තෝරාගෙන ඇත. 

දෛශිකයක් නිරූපණය කිරීමේ පදනම ලෙස <math>\boldsymbol{\hat{x}}, \boldsymbol{\hat{y}}, \boldsymbol{\hat{z}}</math>  යන කාටිසීය ඒකක දෛශික පමණක්ම භාවිතා කිරීම අනිවාර්ය නොවේ.<math>\boldsymbol{\hat{r}}, \boldsymbol{\hat{\theta}}, \boldsymbol{\hat{z}}</math> යන සිලිණ්ඩරාකාර ඒකක දෛශික මගින් හෝ   යන <math>\boldsymbol{\hat{r}}, \boldsymbol{\hat{\theta}}, \boldsymbol{\hat{\phi}}</math> ගෝලීය ඒකක දෛශික මගින් හෝ දෛශික නිරූපණය කළ හැක. පසුව කියූ ආකාර දෙක වෙන වෙනම සිලිණ්ඩරාකාර හෝ ගෝලීය සමමිතියන් සහිත ගැටළු විසඳීම සඳහා යොදා ගැනීමට වඩාත් සුදුසු වේ.

==ආශ්‍රිත==
{{Div col|colwidth=25em}}
* [[Affine space]], which distinguishes between vectors and [[Point (geometry)|points]]
* [[Array data structure]] or [[Vector (Computer Science)]]
* [[Banach space]]
* [[Clifford algebra]]
* [[Complex number]]
* [[Coordinate system]]
* [[Covariance and contravariance of vectors]]
* [[Four-vector]], a non-Euclidean vector in Minkowski space (i.e. four-dimensional spacetime), important in [[theory of relativity|relativity]]
* [[Function space]]
* [[Grassmann]]'s ''Ausdehnungslehre''
* [[Hilbert space]]
* [[Normal vector]]
* [[Null vector]]
* [[Position (geometry)]]
* [[Pseudovector]]
* [[Quaternion]]
* [[Tangential and normal components]] (of a vector)
* [[Tensor]]
* [[Unit vector]]
* [[Vector bundle]]
* [[Vector calculus]]
* [[Vector notation]]
* [[Vector-valued function]]
{{div col end}}

==සටහන්==
{{Reflist}}

==මූලාශ්‍ර==

===Mathematical treatments===
*{{Cite book
 | first = Tom
 | last = Apostol
 | author-link = Tom Apostol
 | title = Calculus
 | volume = 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra
 | publisher = Wiley
 | year = 1967
 | isbn = 978-0-471-00005-1
 | url = https://archive.org/details/calculus01apos
 }}
*{{Cite book
 | first = Tom
 | last = Apostol
 | author-link = Tom Apostol
 | title = Calculus
 | volume = 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications
 | publisher = Wiley
 | year = 1969
 | isbn = 978-0-471-00007-5
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/calculus01apos
 }}
*{{Citation
 | title = Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics
 | first = J. H.
 | last = Heinbockel
 | publisher = Trafford Publishing
 | year = 2001
 | isbn = 1-55369-133-4
 | url = http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html
}}.
*{{Citation
 | last = Itô
 | first = Kiyosi
 | title = Encyclopedic Dictionary of Mathematics
 | publisher = [[MIT Press]]
 | edition = 2nd
 | isbn = 978-0-262-59020-4
 | year = 1993
}}.
*{{springer|id=V/v096340|title=Vector|first=A.B.|last=Ivanov}}.
*{{Citation
 | last1 = Kane
 | first1 = Thomas R.
 | last2 = Levinson
 | first2 = David A.
 | title = Dynamics Online
 | publisher = OnLine Dynamics
 | location = Sunnyvale, California
 | year = 1996
}}.
*{{Cite book
 | first = Serge
 | last = Lang
 | author-link = Serge Lang
 | title = Introduction to Linear Algebra
 | edition = 2nd
 | publisher = Springer
 | year = 1986
 | isbn = 0-387-96205-0
}}
*{{Cite book
 | first = Daniel
 | last = Pedoe
 | author-link = Daniel Pedoe
 | title = Geometry: A comprehensive course
 | url = https://archive.org/details/geometrycomprehe0000pedo
 | url-access = registration
 | publisher = Dover
 | year = 1988
 | isbn = 0-486-65812-0
}}

===Physical treatments===
*{{Cite book
 | last = Aris
 | first = R.
 | title = Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics
 | publisher = Dover
 | year = 1990
 | isbn = 978-0-486-66110-0
 | url = https://archive.org/details/vectorstensorsba00aris
 }}
*{{Cite book
 | first1 = Richard
 | last1 = Feynman
 | author1-link = Richard Feynman
 | first2 = R.
 | last2 = Leighton
 | first3 = M.
 | last3 = Sands
 | year = 2005
 | edition = 2nd
 | title = The Feynman Lectures on Physics
 | volume = I
 | publisher = Addison Wesley
 | isbn = 978-0-8053-9046-9
 | chapter = Chapter 11
| title-link = The Feynman Lectures on Physics
 }}

==භාහිර සබැඳි==
{{Wikiquote}}
{{Commons category|Vectors}}
* {{springer|title=Vector|id=p/v096340}}
* [https://web.archive.org/web/20120801005307/http://wwwppd.nrl.navy.mil/nrlformulary/vector_identities.pdf Online vector identities] ([[Portable Document Format|PDF]])
* [http://www.marco-learningsystems.com/pages/roche/introvectors.htm Introducing Vectors] A conceptual introduction ([[applied mathematics]])

{{Linear algebra}}
{{Authority control}}

[[Category:Kinematics]]
[[Category:Abstract algebra]]
[[Category:Vector calculus]]
[[Category:Linear algebra]]
[[ප්‍රවර්ගය:භෞතික විද්‍යාව තුළ සංකල්ප]]
[[ප්‍රවර්ගය:දෛශික (ගණිතය සහ භෞතික විද්‍යාව)]]
[[Category:Analytic geometry]]
[[ප්‍රවර්ගය:යූක්ලිඩියානු ජ්‍යාමිතිය]]