ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්හී අවකලනය සඳහා මුලාශ්‍රය නරඹන්න

{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF; margin:1em 0 1em 1em" align="right" hspace="3" 
! ශ්‍රිතය
! අවකල්‍යය
|-
| <math>\sin(x)</math>
| <math>\cos(x)</math>
|-
|<math>\cos(x)</math>
|<math>-\sin(x)</math>
|-
|<math>\tan(x)</math>
|<math>\sec^2(x)</math>
|-
|<math>\cot(x)</math>
|<math>-\csc^2(x)</math>
|-
|<math>\sec(x)</math>
|<math>\sec(x)\tan(x)</math>
|-
|<math>\csc(x)</math>
|<math>-\csc(x)\cot(x)</math>
|-
|<math>\arcsin(x)</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arccos(x)</math>
|<math>\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arctan(x)</math>
|<math>\frac{1}{x^2+1}</math>
|}

'''ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්හී අවකලනය''' යනු,  [[ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතය|  ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක]] [[අවකල්‍යය]] හෝ කිසියම් විචල්‍යයකට සාපේක්ෂව එහි අගය වෙනස්වීමෙහි සීඝ්‍රතාවය හෝ සෙවීමෙහි ගණිතමය ක්‍රියාවලිය වෙයි. පොදුවේ භාවිතා වන ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්ට  sin(''x''), cos(''x'') සහ tan(''x'') ඇතුළත් වෙති. නිදසුනක් වශයෙන්, ''f''(''x'') = sin(''x'') හී අවකල්‍යය නිරූපණය කෙරෙන්නේ  ''f''&nbsp;′(''a'') = cos(''a'') ලෙසිනි. ''f''&nbsp;′(''a'') යනු ''a'' නම් විශේෂිත ලක්ෂ්‍යයකදී sin(''x'') හී වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාවය වෙයි.

වෘත්තක ත්‍රිකෝණතික ශ්‍රිතයන්හී සියළු ව්‍යුත්පන්න,  sin(''x'') සහ cos(''x'') යන්නන්හී අවකල්‍යයන් භාවිතයෙන් සොයා ගත හැකිය. ඵලිත ප්‍රකාශනය අවකලනය කිරීමට ඉන්පසු [[ලබ්ධි නීතිය]] යොදා ගැනෙයි. [[ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත|  ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්ගේ]] අවකල්‍යයන් සෙවීමේදී [[අධ්‍යාහෘත අවකලනය]] සහ සවිධි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්ගේ අවකල්‍යයන් භාවිතා කිරීම අදාළ වෙයි.

==ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්ගේ සහ ඒවායේ ප්‍රතිලෝමයන්ගේ අවකල්‍යයන් ==

:<math>\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}\tan(x) = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 1  +  \tan^2(x) = \sec^2(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}\cot(x) = \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)' = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -(1+\cot^2(x)) = -\csc^2(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}\sec(x) = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}\csc(x) = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)' = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\arccos(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\mbox{arccot}(x) = \frac{-1}{1+x^2}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\mbox{arcsec}(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\mbox{arccsc}(x) = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math>

==ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයන්ගේ අවකල්‍යයන්ගේ සාධනයන් ==

===  0 වෙතට θ එළඹෙත්ම sin(θ)/θ හී සීමාව ===
[[ගොනුව:limit circle FbN.jpeg|thumb|<center>වෘත්තය, කේන්ද්‍රය ''O'', අරය ''r''</center>]]

දකුණෙහි දැක්වෙන රූපසටහන විසින්, කේන්ද්‍රය ''O'' සහ අරය ''r'' වන වෘත්තයක් දැක්වෙයි. ''OA'' සහ ''OB'' යන අරයයන් දෙක විසින් ''O'' වෙත සාදන කෝණය ''θ'' වන බව සිතමු. අපගේ අවධානය යොමු වී ඇත්තේ ශුන්‍යය වෙත ''θ'' එළැඹෙත්ම  සීමා සෙවීම වෙත වන බැවින්, ''θ'' යනු ඉතා කුඩා ධන සංඛ්‍යාවක් බවට අපට උපකල්පනය කල හැක: {{නොඑතුම|1=0 < ''θ'' ≪ 1}}.

රූපසටහනෙහි පහත දැක්වෙන කොටස් තුන සලකමු: ''R''<sub>1</sub> යනු ''OAB'' ත්‍රිකෝණයද, ''R''<sub>2</sub> යනු ''OAB'' [[වෘත්තමය ඛණ්ඩකය| වෘත්තමය ඛණ්ඩකයද]] සහ, ''R''<sub>3</sub> යනු  ''OAC'' ත්‍රිකෝණයද වෙති. පැහැදිලි ලෙසින්:
:<math>\text{Area}(R_1) < \text{Area}(R_2) < \text{Area}(R_3) \, . </math>
මෙහි <math>\text{Area}(R_1)</math> යනු ''R''<sub>1</sub> කොටසෙහි වර්ගඵලයද, <math>\text{Area}(R_2)</math> යනු ''R''<sub>2</sub> කොටසෙහි වර්ගඵලයද, <math>\text{Area}(R_3)</math> යනු ''R''<sub>3</sub> කොටසෙහි වර්ගඵලයද වෙයි

මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර භාවිතයෙන්, ''OAB'' ත්‍රිකෝණයෙහි වර්ගඵලය වන්නේ 
:<math> \frac{1}{2} \times ||OA|| \times ||OB|| \times \sin\theta = \frac{1}{2}r^2\sin\theta \, . </math>

''OAB'' [[වෘත්තමය ඛණ්ඩකය#වර්ගඵලය|වෘත්තමය ඛණ්ඩකයෙහි වර්ගඵලය]] යනු {{උපහරණ ඇවැසිය |reason= සත්‍ය වශයෙන් උපන්‍යාස වශයෙන් දක්වා ඇති ලිපිය විසින් කලනය භාවිතා නොකරමින් මෙම සූත්‍රය සාධනය කල හැකි බවට   තහවුරු නොකරයි.  එසේ කල හැකි බව මමද සැක කරමි.  විශ්වසනීය මූලාශ්‍රයක් ලෙසින් විකිපීඩියා ලිපියක් ඔබට භාවිතා කල නොහැක.  ඔබ විසින් තර්කානුකූල වෘත්තයක් සැලකුවද පහත කාරණය පසිඳු ලෙසින් එයරන්ප්‍රයිස්  විසින් තහවුරු කර ඇත: වෘත්තමය ඛණ්කයක වර්ගඵලය සඳහා කලනමය සාධනය රඳා පවතින්නේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අනුකලනය කිරීමේ හැකියාව මතය.  විශ්වසනීය මූලාශ්‍රයක් අප මෙහිදී දැක්විය යුතුය.|date=සැප්තැම්බර් 2014}} <math>\frac{1}{2}r^2\theta</math> වන අතර, ''OAC'' ත්‍රිකෝණයෙහි වර්ගඵලය දෙනු ලබන්නේ
:<math> \frac{1}{2} \times ||OA|| \times ||AC|| = \frac{1}{2}\times r \times r \tan\theta = \frac{1}{2}r^2\tan\theta \, . </math> විසිනි

මෙම කොටස් තුන එක්ව සැලකීමට ලක් කිරීමෙන්:
:<math>\text{Area}(R_1) < \text{Area}(R_2) < \text{Area}(R_3) \iff 
\frac{1}{2}r^2\sin\theta < \frac{1}{2}r^2\theta < \frac{1}{2}r^2\tan\theta \, . </math>

{{නොඑතුම|1=''r'' > 0}} බැවින්, මුළු ප්‍රකාශනය ½•r<sup>2</sup> වෙතින් බෙදීම අපට කල හැකි වෙයි. මෙයින් ගම්‍ය වන්නේ සංස්ථානය සහ ගණනය කිරීම් සියල්ල වෘත්තයෙහි අරයෙන් ස්වායත්ත වන බවයි.
තවදුරටත්, {{නොඑතුම|1=0 < sin ''θ'' ≪ 1}} යන්න පළමු වෘත්ත පාදයෙහි වන බැවින්, {{නොඑතුම|1=sin ''θ'' > 0}} වන අතර {{නොඑතුම|sin ''θ''}}, වෙතින් මුළු ප්‍රකාශනය බෙදීමෙන් පහත ප්‍රකාශනය ලැබෙයි:
:<math>1 < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta} \implies 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . </math>

අවසන් පියවරෙහිදී අප විසින් සිදු කලේ පද තුනෙන් එකින් එකෙහි ප්‍රතිලෝමය ගැනීමයි. පද තුනම ධන වන බැවින් මෙයින් සිදු වූයේ අසමානතා ප්‍රතිවර්තනය වීමයි, නිද. {{නොඑතුම|1=2 < 3}} නම්, එවිට {{නොඑතුම|1=½ > ⅓}}.